LeetCode - 0070.爬楼梯

题目

假设你正在爬楼梯。需要 n 阶你才能到达楼顶。

每次你可以爬 1 或 2 个台阶。你有多少种不同的方法可以爬到楼顶呢？

难度：简单

示例1

输入：n = 2
输出：2
解释：有两种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶
2. 2 阶

示例2

输入：n = 3
输出：3
解释：有三种方法可以爬到楼顶。
1. 1 阶 + 1 阶 + 1 阶
2. 1 阶 + 2 阶
3. 2 阶 + 1 阶

提示

1 <= n <= 45

分析

爬楼梯问题是动态规划类型中最简单但也最经典的，他和斐波那契数列问题很相似。

我们想象一下，假设你已经用暴力穷举的方法爬到了某一层楼梯，因为一次可以爬 1 个或 2 个台阶，所以这些方法中，有一部分是你爬到前 1 个台阶再爬 1 个台阶上来的，另一部分是爬到前 2 个台阶再爬两个台阶上来的。

所以爬到第 n 个台阶的方法是爬到第 n - 1 个台阶与爬到第 n - 2 个台阶的方法之和。

再来看最基本的情况，对于 1 个台阶，只能爬 1 阶，也就是 1 种方法；对于 2 个台阶，可以爬两次 1 阶或者爬 1 次 2 阶，方法数为 2；对于 3 阶，按上述的方法，其方法数是爬 1 阶的方法数和爬 2 阶的方法数之和，也就是 1 + 2 = 3。

对于 4 阶、5 阶…… 我们都可以用上述方法计算出来。

解答

我们用 dp[i] 表示爬到第 i 阶的方法数，基本情况 dp[1], dp[2] 是已知的，爬到更高的台阶 i 的方法数为 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]。

public class Solutin {
    public int climbStairs(int n) {
        if (n < 3) return n;
        int[] dp = new int[n + 1];
        dp[1] = 1;
        dp[2] = 2;

        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2];
        }

        return dp[n];
    }
}

这里用了一个数组 dp 来存储爬到第 i 阶的方法数，也可以为了减少内存占用，不使用数组：

public class Solution {
     public int climbStairs(int n) {
        if (n < 3) return n;

        int a = 1;
        int b = 2;
        int c = 0;

        for (int i = 3; i <= n; i++) {
            c = a + b;
            a = b;
            b = c;
        }

        return c;
    }
}